NAUVOO LODGE

de la construction

des

essaims d’abeilles.

               (Traduction d’un article Allemand du Spiegel)

            Les mathématiciens ont enfin démontré que les abeilles comptent parmi les bâtisseurs les plus efficaces au monde. A l'instar d'autres scientifiques de la Grèce antique, Pappus, au IV' siècle, soupçonnait déjà que l'élégante forme des rayons de cire n'était pas liée au sens inné de la géométrie chez les abeilles. Pour le mathématicien, la structure répétitive des figures à six côtés résultait tout simplement de l'efficacité de la nature : les abeilles utilisaient une quantité de cire la plus petite possible afin de construire leurs parois. Cette intuition de Pappus, formulée dans un essai sur la sagacité des abeilles". est aujourd'hui connue sous le nom de conjecture du nid d'abeille. Elle a résisté à toutes les démonstrations jusqu'à il y a quelques semaines, lorsque le mathématicien Thomas Hales, de l'université du Mchigan, aux États-Unis, a annoncé qu'il avait enfin résolu l'énigme.

           Il a fallu attendre les progrès de l'optique pour que les scientifiques apprennent comment les abeilles construisent leurs réservoirs à miel. Il s'agit d'un véritable exploit technique. Les jeunes ouvrières excrètent d'infimes gouttelettes de cire chaude que d'autres abeilles recueillent aussitôt. Ces dernières disposent les gouttelettes verticalement de façon à former des cellules à six côtés (ou alvéoles). Chaque cloison de cire fait moins de 0, 1 millimètre d'épaisseur, avec une tolérance de 0,002 millimètre. Chacune des six parois a exactement la même largeur et forme avec la suivante un angle de 120 degrés, très précisément, produisant l'une des "figures parfaites" de la géométrie: un hexagone régulier.

DIEUX MILLE ANS POUR CONSACRER L’HEXAGONE CHAMPION DES POLYGONES

Pourquoi les abeilles ne fabriquent-elles pas des alvéoles triangulaires, ou carrés, ou d'une tout autre forme ? Pourquoi les contours des alvéoles forment-ils des surfaces planes ? Car enfin, la cire chaude pourrait tout aussi bien former des surfaces courbes ! Le problème mathématique posé est celui de l'efficacité de la structure des cellules de miel. Un rayon de miel est un objet à trois dimensions. Mais toutes les alvéoles étant des tubes hexagonaux, la surface totale des parois de cire dépend uniquement de la forme des alvéoles en coupe transversale. Ainsi, le problème mathématique relève de la géométrie plane - celle que l'on apprend à l'école.

La question se pose alors en ces termes quelle est la façon la plus économique de partager une structure plane en une multitude de surfaces égales ? Certains faits sont aisés à établir. Par exemple, seuls trois types de polygones réguliers (dont les côtés et les angles sont égaux) peuvent être placés côte à côte de manière à couvrir un plan : ce sont les triangles équilatéraux, les carrés et les hexagones réguliers. Les autres polygones réguliers laissent subsister des intervalles quand ils se collent les uns aux autres. Sur ces trois figures "comblantes", les carrés accolés offrent un périmètre total plus petit que les triangles, et les hexagones font mieux encore que les carrés.

           L’affaire se complique si l'on veut combiner des polygones de toutes sortes, qui ne sont pas forcément réguliers ou dont les côtés ne forment pas strictement une ligne droite. On ne savait pas grand-chose sur le sujet jusqu'en 1943, date à laquelle le mathématicien hongrois Fejes Toth est parvenu à démontrer, grâce à un argument ingénieux, que la structure hexagonale régulière donnait un plus petit périmètre total que toutes les structures formées de n'importe quelle combinaison de polygones à côtés droits. Mais que se passe-t-il lorsque les côtés sont courbes ? Fejes Toth pensait que la structure hexagonale régulière serait plus efficace que n'importe quelle autre, mais il n'a pas réussi à le démontrer Thomas Hales vient enfin d'y parvenir en juin dernier. Il a présenté sa preuve de 19 pages sur son site Internet, et des spécialistes qui l'ont lue la jugent exacte.

INSTINCT OU PROUESSE MATHÉMATIQUE, TOUT DÉPEND DU POINT DE VUE

           L’année dernière, Thomas Hales a démontré que la façon la plus efficace d'empiler des sphères de même taille dans une grande caisse consiste à les disposer régulièrement, en couches décalées les unes par rapport aux autres. C'est ce que font les épiciers partout dans le monde avec les oranges, de telle manière que chacune des oranges d'une nouvelle couche vienne occuper l'espace ménagé par les quatre fruits du dessous. Ce problème, soulevé pour la première fois par l'astronome johannes Kepler en 1611, a résisté à maintes tentatives d'élucidation. jusqu'à ce que Thomas Hales démontre, sur 250 pages et trois gigaoctets de données, ce que les employés de supermarchés savent d'instinct.

           De nombreux oiseaux migrateurs qui traversent les mers se repèrent par rapport aux étoiles, alors que les hommes ont besoin d'instruments optiques, de cartes marines et de calculs trigonométriques pour parvenir aux mêmes fins. Les oiseaux semblent retenir la configuration des étoiles - qui doit être apprise, dans la mesure où elle change trop vite pour que l'évolution puisse s'y adapter - en regardant le ciel lorsqu'ils sont encore au nid. Les scientifiques s'émerveillent volontiers des prouesses "mathématiques" dont sont capables les oiseaux ou les insectes. 

           Mais ceux-ci n'utilisent pas les mathématiques comme nous le faisons. La sélection naturelle a produit une grande diversité d'êtres vivants qui peuvent tous accomplir un ensemble déterminé d'actions nécessaires à leur survie. Les êtres humains ont élargi leur propre éventail de comportements instinctifs, si bien qu'ils peuvent simuler certaines activités des autres animaux. Par les mathématiques, les sciences et les techniques, nous aussi pouvons parcourir le globe et construire des lieux d'habitation complexes. Qu'il ait fallu deux mille ans d'efforts et 19 pages de mathématiques avancées pour montrer qu'un simple rayon de cire était la structure la plus efficace pour stocker du miel, voilà un beau témoignage à la fois des merveilles de la notre ingéniosité mathématique.